Измерение коэффициента гармоник напряжения сигнала, заданного во временной области

к.т.н. Пивак А.В. АО «ПриСТ» В статье рассмотрены методы измерения и воспроизведения напряжений с нормированным значением коэффициента гармоник, основанные на применении цифровой техники. Приведены результаты экспериментальных исследований, которые могут быть использованы при разработке нового поколения эталонов для поверки как измерителей нелинейных искажений, так и для анализаторов качества электроэнергии

Гармонические колебания являются одним из основных видов сигналов, применяемых в радиоизмерениях и электрических измерениях переменных напряжений низкой частоты. Передача размера единицы переменного напряжения или мощности высокочастотных колебаний основана на синусоидальных напряжениях с дальнейшей экстраполяцией результатов на сигналы другой формы. Это связано с некоторыми свойствами, присущими только гармоническим колебаниям. Во-первых, при прохождении через линейные системы изменяется только амплитуда и фаза таких колебаний, но не изменяется их частота и не появляются другие частотные составляющие. Во-вторых, тригонометрические функции являются базисом, по которому любую функцию можно представить в виде суммы простейших гармонических колебаний (разложение в ряд Фурье). Кроме этого, можно отметить, что многие физические процессы математически описываются также с применением тригонометрических функций. Такое распространение синусоидальных колебаний привело к появлению специального вида измерений, заключающихся в определении отличий формы реального сигнала от “идеальной” синусоиды. Данные измерения можно проводить как с помощью специальных средств измерений (измерители нелинейных искажений ИНИ, группа “С6” по российской классификации), так и с помощью анализаторов спектра, которые относятся к средствам измерений общего назначения. Результат измерений принято выражать в виде коэффициента гармоник (нелинейных искажений), который определяется по следующей формуле:

, где Ui - действующее значение напряжения соответствующей гармоники сигнала

Наибольшее распространение определение значения К_г получило на низких частотах (диапазон частот от 20 Гц до 200 кГц), где данная величина является одним из важных параметров сигнала. В России измерения коэффициента гармоник регламентируются различными нормативными документами, в том числе государственной поверочной схемой, и обеспечиваются наличием государственного эталона коэффициента гармоник. Принципы построения как эталона, так и нижестоящих по поверочной схеме средств измерений основаны на представлении сигналов в частотной области. При этом либо воспроизводится сигнал с нормируемым значением коэффициента гармоник путем сложения сигнала основной гармоники и сигналов высших гармоник с известным отношением напряжений между ними, либо для определения коэффициента гармоник в неизвестном сигнале измеряются напряжения отдельных спектральных составляющих с помощью селективных вольтметров.

Однако сейчас в России появляются средства измерений (как отечественные, так и импортные), которые способны измерять или воспроизводить не только значение К_г сигнала, но также напряжение отдельных гармонических составляющих и фазовые сдвиги между ними.

Данные приборы предназначены для анализа качества электроэнергии в сетях электропитания частотой от 50 до 400 Гц, имеют возможность измерения до 60 гармоник основной частоты (24 кГц), а их распространение обусловлено наличием нормативных документов, требующих измерять перечисленные параметры для напряжения электросети.

Определение сдвига фаз между гармоническими составляющими при измерении коэффициента гармоник принципиально отличает анализаторы качества электроэнергии (АКЭ) от средств измерений, иерархически подчиненных государственному эталону коэффициента гармоник. Связана такая ситуация с тем, что для приборов типа АКЭ используется представление сигналов не в частотной, а во временной области. Таким образом, для данных средств измерений требуется разработка эталона коэффициента гармоник, использующего в своей работе цифровую обработку сигналов для представления их во временной области.

Эталон может быть основан на средстве измерения, воспроизводящем сигнал с нормируемым значением К_г (генератор), на средстве измерения, определяющем значение К_г сигнала с заданной погрешностью (измеритель), или на их комбинации. Рассмотрим реализацию данных вариантов во временной области.

Генератор. Представление периодического сигнала во временной области с помощью разложения в ряд Фурье выражается формулой:

, (2) где ai – амплитуда соответствующей гармонической составляющей (совокупность всех ai представляет собой частотный спектр сигнала), ƒ – частота периодического сигнала, φi – начальная фаза соответствующей гармоники

При задании необходимых для получения требуемого значения К_г амплитуд и фаз отдельных гармонических составляющих результирующий сигнал будет представлять собой колебание сложной произвольной (в зависимости от используемых количества, номеров и начальных фаз гармоник) формы. Воспроизвести такое колебание возможно при использовании цифро-аналоговых преобразователей (метод прямого цифрового синтеза), которые генерируют сигнал в соответствии с загруженной в них теоретической зависимостью s(t).

Измеритель. Для получения информации о значениях коэффициентов ряда Фурье a_i для произвольного сигнала s(t), измеренного во временной области, необходимо взять следующие определенные интегралы (преобразование Фурье):

, (3) где Т=1/ƒ – период следования периодического сигнала

Поскольку по результатам измерений математическая формула сигнала s(t) непосредственно не определяется, то на практике используют дискретное преобразование Фурье или его упрощенный вариант – быстрое преобразование Фурье. Необходимые для работы этих алгоритмов дискретные отсчеты сигнала в цифровом виде получают при использовании аналогово-цифровых преобразователей. Последующий расчет данных позволяет определить как амплитудные, так и фазовые соотношения в спектре исследуемого сигнала.

Таким образом, основой и генератора, и измерителя являются цифровые микросхемы цифроаналогового (ЦАП) или аналого-цифрового (АЦП) преобразования. Определение действительных метрологических характеристик основных параметров АЦП измерителя и ЦАП генератора не представляет особых сложностей. Однако это утверждение не относится к программно-аппаратным комплексам, предназначенным для измерения или воспроизведения сигналов с нормированным значением коэффициента гармоник (например, измеритель на основе АЦП и программ, реализующих алгоритмы быстрого преобразования Фурье), поскольку математические модели погрешностей, возникающих при выполнении быстрого преобразования Фурье, еще окончательно не разработаны. Но для оценки погрешностей возможно применить общие подходы, используемые для аналогичных приборов, работающих в частотной области.

Действительно, АЦП измерителя с алгоритмом преобразования Фурье представляет собой комбинацию осциллографа, измеряющего сигнал во временной области, и анализатора спектра параллельного действия, преобразующего расчетным путем информацию о сигнале во временной области в частотный спектр.

Способы проверки параметров анализаторов спектра (погрешности измерения напряжения, неравномерности амплитудо-частотной характеристики, динамического диапазона, собственных гармонических искажений и т.д.) хорошо известны. То же относится к параметрам осциллографа, при этом линейность фазочастотной характеристики косвенно проверяется при нахождении переходной характеристики осциллографа. Примерами таких измерителей являются прибор для АКЭ LEM Norma D6000 и плата виброанализа NI PXI-4461. Первый из них имеет нормированные погрешности для режима быстрого преобразования Фурье, в том числе погрешность измерения фазового сдвига между гармоническими составляющими от ±0,1 градуса, второй обладает 24-разрядным АЦП с частотой дискретизации 200 кГц и собственными гармоническими искажениями (в диапазоне частот от 20 Гц до 20 кГц) не более -107 дБ (0,00044%). Это, например, позволяет поверять рабочие эталоны КНИ типа К2С-57 методом прямых измерений и измерять коэффициент гармоник 100% с погрешностью не более ±0,03%, а коэффициент гармоник 0,003% с погрешностью не более ±0,0005%, что в 2,5–10 раз лучше, чем возможности Государственного эталона. Применение в качестве измерителей АЦП с меньшим количеством разрядов будет ухудшать их характеристики, однако способ их проверки меняться не будет.

Определение метрологических характеристик генератора на основе ЦАП, особенно фазовых, при отсутствии более точного измерителя на основе АЦП, представляется не такой тривиальной задачей, но более распространенной из-за наличия в России большого количества серийных генераторов сигналов произвольной формы с 12-, 14- и 16-разрядными ЦАП.

Для экспериментального решения такой задачи использовался генератор Agilent 33220 (14 разрядов), при этом все измерения проводились для сигналов с основной частотой 1 кГц. В основу метода измерения коэффициента гармоник сигнала, заданного во временной области, было положено поэлементное определение следующих характеристик ЦАП:

• линейность выходного уровня ЦАП и выходного усилителя в динамическом диапазоне;
• неравномерность u1040 АЧХ ЦАП и выходного усилителя в частотном диапазоне;
• собственные гармонические искажения ЦАП и выходного усилителя;
• погрешность установки опорного коэффициента гармоник 100%;
• погрешность установки опорного нулевого фазового сдвига между гармониками.

Цифровые отсчеты для ЦАП (не менее 1000 отсчетов на период, т.е. частота дискретизации не менее 1 МГц), необходимые для каждого конкретного теста, формировались в программе MathCad 2000 по формуле (2) и посылались в генератор через специализированное программное обеспечение из его комплекта.

Проверка линейности ЦАП в частотном диапазоне проводилась путем измерения выходного напряжения генератора 1 В на нагрузке 50 Ом при помощи вольтметра Agilent 34401А на частотах 1, 2, 3 и 4 кГц для сформированного сигнала синусоидальной формы с расчетным К_г = 0%, а проверка линейности ЦАП в динамическом диапазоне – на частоте 1 кГц для напряжений 1; 1,001; 1,01; 1,1 и 1,41 В для сигнала такой же формы, где значения напряжения соответствуют напряжениям сигналов с амплитудой основной гармоники 1 В и К_г = 0; ~4,5%; ~14%; ~46% и ~100%. Собственные гармонические искажения определялись с помощью измерителя нелинейных искажений С6-12 для выходного напряжения генератора 1 В частотой 1 кГц на нагрузке 50 Ом при расчетном К_г = 0%. По этим тестам были получены следующие результаты:

Нелинейность АЧХ ЦАП относительно частоты 1 кГц (Agilent 33220A) Частота 1 кГц .............................................................. 0% Частота 2 кГц ..........................................................0,05% Частота 3 кГц ..........................................................0,07% Частота 4 кГц ..........................................................0,05% Нелинейность ЦАП в динамическом диапазоне (Agilent 33220A) Напряжение 1 В ........................................................ 0% Напряжение 1,001 В ............................................0,001% Напряжение 1,01 В ..............................................0,004% Напряжение 1,1 В ................................................0,015% Напряжение 1,41 В ................................................0,05%

 

Из приведенных данных следует, что суммарная нелинейность ЦАП в частотном и динамическом диапазоне не превышает 0,1%. При этом полученные значения нелинейности ЦАП в динамическом диапазоне для напряжений 1,001 В (К_г~4,5%) и 1,1 В (К_г~46%) позволяют предположить, что этот источник погрешности носит мультипликативный характер: изменение К_г в десять раз вызывает примерно такое же увеличение погрешности. Дополнительно необходимо учитывать, что в ЦАП могут быть внесены поправки на нелинейность, позволяющие получить нелинейность на уровне погрешностей образцового вольтметра (достижимо до 0,001%).

Собственный Кг ЦАП и усилителя определялся прямыми измерениям по ИНИ для сигнала с расчетным Кг = 0% и не превышает 0,02% для Agilent 33220A, а в заявленных данных на 16-разрядный генератор NI PXI-5422 это значение составляет менее 0,006%:

Установленный Кг на Agilent 33220A	Показания С6-12
0% .......................................................................... 0,023% 100%; 4 гармоники .....................................................95,2% 100%; 3 гармоники .....................................................96,0% 100%; 2 гармоники ...................................................100,0% 10%; 2 гармоники .....................................................10,00%

Конечно, прямой связи между разрядностью ЦАП и собственным К_г нет из-за наличия выходного усилителя и его искажений, но тенденция наблюдается аналогичная измерителям: чем больше разрядность, тем лучше. Данная погрешность является аддитивной при формировании сигнала с заданным значением коэффициента гармоник. Погрешность установки опорного уровня К_г = 100% проверялась следующим способом. На генераторе последовательно устанавливались периодические сигналы основной частоты 1 кГц и напряжением первой гармоники 1 В с уровнем К_г = 0% и уровнем К_г = 100% (при этом искажения формировались с помощью 1, 2 или 3 гармоник сигнала основной частоты, в случае 2 или 3 гармоник их уровни задавались равными, рис. 1). Измерялось напряжение на выходе вольтметра и рассчитывался К_г:

Рисунок 1 (щелчок по изображению - увеличение)

, (4) где U? – напряжение “искаженного” сигнала, U1 – напряжение “чистого” сигнала в предположении, что оно равно напряжению первой гармоники в “искаженном” сигнале

Это предположение проверялось при помощи режекторного фильтра из комплекта генератора Г3-118. На фильтре устанавливалась частота режекции 2 кГц, на него с генератора подавался синусоидальный сигнал 2 кГц и по вольтметру на выходе фильтра устанавливался максимальный коэффициент подавления (около 80 дБ). Затем на фильтр подавались последовательно сигналы частотой 1 кГц: синусоидальный с К_г = 0% и “искаженный” с К_г = 100%, сформированный только из основной и второй гармоники. Вольтметр в обоих случаях фиксировал одинаковое напряжение на выходе фильтра, что подтверждает выдвинутое предположение. Из сравнения полученных экспериментальных данных следует, что погрешность установки К_г = 100% практически полностью определяется значениями нелинейности ЦАП (см. таблицу). Таким образом, оценивать метрологические характеристики ЦАП в режиме формирования сигнала с заданным значением коэффициента гармоник можно как с помощью прямых, так и с помощью косвенных измерений.

Определение коэффициента гармоник по вольтметру
Agilent 33220A	Значение Кг, определенное по формуле (4)	Погрешность установки Кг	Изменение уровня основной гармоники в сигналах с Кг = 0% и 100%
100%; 2 гармоники	99,93%	0,07%	±0,01%
100%; 3 гармоники	99,88%	0,12%	-
100%; 4 гармоники	99,80%	0,20%	-

Погрешность установки фазового сдвига между гармониками проверялась для сигнала с К_г = 100%, сформированного из основной и второй гармоники с нулевым фазовым сдвигом между ними. В качестве эталона использовался цифровой осциллограф WaveRunner 6050A с программным обеспечением математической реализации цифровых фильтров. Сигнал с генератора подавался на вход осциллографа, оцифровывался и независимо пропускался через цифровые режекторные фильтры с частотами 1 кГц и 2 кГц (рис. 2). На выходе фильтров получались две синусоиды основной и второй гармоники. По осциллографу измерялся временной интервал между этими сигналами. В данный результат вносились поправки на фазовые сдвиги, вызываемые фильтрами, которые определялись путем измерения временного интервала между фронтами “чистой” синусоиды частотой 1 или 2 кГц и этой же синусоиды, прошедшей режекторные фильтры 2 или 1 кГц соответственно. Полученное после внесения поправок значение временного интервала переводится в значение фазового сдвига. Естественно, что нулевой фазовый сдвиг соответствует нулевому временному интервалу. Полученное расхождение составило не более 1 мкс, что соответствует фазовому сдвигу не более 0,3 градуса:

Рисунок 2 (щелчок по изображению - увеличение)

Временной интервал между основной и второй гармониками на выходе фильтров	471 мкс
Фильтр 1 кГц: фазовый сдвиг второй гармоники	задержка 371 мкс
Фильтр 2 кГц: фазовый сдвиг основной гармоники	опережение 101 мкс
Погрешность установки нулевого фазового сдвига	-1 мкс = 471 мкс – (371 + 101) мкс

Данное значение соответствует погрешности из-за интервала дискретизации, которая для сигнала частотой 1 кГц и задающих сигнал 1000 точек составляет 1 мкс. Эту величину можно уменьшить на порядок, использовав большее количество точек (10000) и соответственно повысив частоту дискретизации ЦАП. Выбранный генератор позволяет осуществить данную процедуру.

Таким образом, метрологические характеристики используемого в эксперименте генератора на основании математической модели из “Technical Tutorial on Digital Signal Synthesis” (основы цифрового синтеза сигналов) компании “Analog Device” можно оценить как следующие:

• погрешность установки коэффициента гармоник в диапазоне от 5% до 100% не превышает ±(0,001Кг + 0,02%);
• погрешность установки фазового сдвига между гармониками не более 0,3 градуса.

Полученные оценки параметров не уступают характеристикам образцовых поверочных установок типа СК6-10 и К2С-57. Для проверки возможности использования данного генератора для поверки ИНИ сформированный генератором сигнал с К_г = 100% подавался на С6-12. Интересно, что для сигналов с наличием третьей и четвертой гармоник показания С6-12 существенно отличаются от действительных. Этот факт говорит о зависимости показаний ИНИ от гармонического состава сигнала. Частично такая зависимость подтверждается различными показаниями ИНИ при подаче сигналов с одним и тем же значением К_г от образцовых установок СК6-10 и К2С-57, которые имеют различные принципы формирования сигнала.

К сожалению, из-за отсутствия АКЭ с измерением фазового сдвига между гармониками убедиться в пригодности генераторов для проверки фазовых характеристик данного типа приборов не получилось. Однако данная методика была положена в основу программы испытаний для целей утверждения типа опции качества электроэнергии калибратора Fluke-5520/PQ, фактически являющегося генератором на основе ЦАП. При этом результаты испытаний подтвердили соответствие реальных характеристик калибратора заявленным и совпали (в пересекающихся точках) со значениями, определенными на заводе-изготовителе при выпуске из производства с помощью Lem Norma 6000D.

Полученные результаты свидетельствуют о том, что в настоящее время неизбежно в качестве средств измерений гармонических искажений должны применяться приборы на основе ЦАП/АЦП, существенно отличающиеся от их аналоговых предшественников. Поэтому необходимо разработать в России соответствующую нормативную документацию, новые методы и средства поверки, создать новый Государственный эталон.

Литература:

1. Крутиков В.Н. // Контрольно-измерительные приборы и системы – 2005 - №6
2. R. Arseneau, P.S. Filipski // IEEE 8th International Conference on Harmonics of Power – 1998 – p.233
3. ГОСТ 8.331-99. Государственная система обеспечения единства измерений. Измерители коэффициента гармоник. Методы и средства поверки и калибровки.
4. ГОСТ 8.110-97. Государственная система обеспечения единства измерений. Государственная поверочная схема для средств измерения коэффициента гармоник.
5. ГОСТ 13109-97. Электрическая энергия. Совместимость технических средств электромагнитная. Нормы качества электрической энергии в системах элек-троснабжения общего назначения.
6. Гоноровский И. С., Радиотехнические цепи и сигналы // М.: Радио и связь, 1986
7. Пивак А.В., Применение быстрого преобразования Фурье в цифровых запоминающих осциллографах // Компоненты и технологии - 2004 - №7
8. Техническая документация фирмы LEM NORMA GmbH, Австрия.
9. Техническая документация фирмы National Instrument, США.
10. A Technical Tutorial on Digital Signal Synthesis // Analog devices, 1999
11. Техническая документация фирмы «Fluke Corporation», США.

Автор:  Пивак А.В. к.т.н.
Дата публикации:  19.07.2006